[!abstract] 摘要
用三种实用视角理解矩阵乘法 AB = C：行视角（C 的各行是 B 的各行的线性组合）、列视角（C 的各列是 A 的各列的线性组合）、秩 1 矩阵块组合视角（C 是 A 的列与 B 的行相乘得到的秩 1 矩阵块之和）。

1. 引言

矩阵相乘 AB = C 是最常用的矩阵运算，没有之一。但大部分高校老师教的是，C 中第 i 行第 j 列的元素值就是 A 中第 i 行与 B 中第 j 列的内积。这当然是一种视角，也是对的。但以笔者的经历来看，这恰恰是最不实用的 1 个视角，另外的 3 种视角：行视角、列视角、秩 1 矩阵块组合视角，反而是最实用的，但大部分学校老师都没讲（至少笔者上学时是这样的），这其实是中国基础工程数学教育亟待解决的一个点。

下面我们来仔细分析下，其实也很简单。

2. 第 1 种：行视角

行视角：C 中各行为 B 中各行的线性组合，组合系数分别为 A 中各行元素值。如图所示：

• C 中的第 1 行，是 A 中第 1 行的 1、4、7 分别乘以 B 中的第 1 行、2 行、3 行，然后相加而得；
• C 中的第 2 行，是 A 中第 2 行的 2、6、1 分别乘以 B 中的第 1 行、2 行、3 行，然后相加而得；

3. 第 2 种：列视角

列视角：C 中各列为 A 中各列的线性组合，组合系数为 B 各列的元素值。如下图所示：

• C 中第 1 列，为 B 第 1 列的 3、1、4 分别乘以 A 中第 1、2、3 列，然后相加而得；
• C 中第 2 列，为 B 第 2 列的 5、3、6 分别乘以 A 中第 1、2、3 列，然后相加而得；
• C 中第 3 列，为 B 第 3 列的 7、2、1 分别乘以 A 中第 1、2、3 列，然后相加而得；

4. 第 3 种：秩 1 矩阵块组合视角

秩 1 矩阵块组合视角：C 为 A 中各列与 B 中各行相乘得到的秩 1 矩阵块之和。如下图所示：

• 第 1 个矩阵块 C1 为，A 中第 1 列与 B 中第 1 行的乘积，容易看出，其秩为 1；
• 第 2 个矩阵块 C2 为，A 中第 2 列与 B 中第 2 行的乘积，容易看出，其秩为 1；
• 第 3 个矩阵块 C3 为，A 中第 3 列与 B 中第 3 行的乘积，容易看出，其秩为 1；

C = C1 + C2 + C3

5. 结论与应用

顺便说一句，深度理解矩阵（线性变换、特征变化、SVD 变换等），是提升自己工程算法高度、拔高自己上限的重要前提，因为大部分稍微复杂一点的工程算法，其落地首先就是线性化、离散化，更不要说后续更复杂的处理过程，而矩阵表达就是这些过程中的唯一的数学工具与语言，否则很多算法，有些是看都看不懂，有些是似懂非懂，是很难驾驭的。

这三种视角在实际应用中各有优势：

• 行视角在处理与行向量相关的运算时特别直观
• 列视角在理解线性变换对向量空间的作用时非常有帮助
• 秩 1 矩阵块组合视角在矩阵分解和低秩近似问题中具有重要应用

掌握这些视角不仅能帮助我们更好地理解矩阵运算的本质，还能在实际问题中选择最合适的思考方式，提高解决问题的效率和深度。